2. TP sur les ensembles de Julia

2.1. Ensembles de Julia, ensembles de Mandelbrot

Une fractale est un objet mathématique dont la structure est invariante par changement d’échelle.

Autrement dit, on peut «zoomer» et les parties auront toujours la même forme.

Dans ce TP, nous allons étudier les ensembles de Julia, nommés en l’honneur de Gaston Julia (XXè siècle), qui sont un exemple de fractales. Ces ensembles sont construits à partir de suites de nombres complexes récurrentes, définie par un premier terme \(z_0\) et par la relation \(z_{n+1} = z_n^2 + c\), où \(c \in \mathbf{C}\). Ces suites sont soit bornées, soit divergentes, en fonction de la valeur initiale \(z_0\).

Un ensemble de Julia est l’ensemble des valeurs de \(z_0\) pour lesquels la suite est bornée.

Benoît Mandelbrot a décidé d’étudier les ensembles de Julia connexes. C’est à dire les ensembles pour lesquels, le choix de \(c\) fait qu’il n’y a pas de «trous». On appelle de tels ensembles des ensembles de Mandelbrot.

2.2. Représentation graphique d’un ensemble de Julia.

Le programme

%pylab inline
from random import random

def Julia(P,N):
    LX = []
    LY = []
    for i in range(P):
        z0 = random() * 4 - 2 + 1j*(random() * 4 - 2)
        z = z0
        k = 0
        while (abs(z) < 2 and k < N):
            k = k + 1
            z = z**2 - 1
        if k == N:
            LX.append(z0.real)
            LY.append(z0.imag)
    scatter(LX, LY)
    show()

On souhaite représenter l’ensemble de Julia pour \(c = -1\) à l’aide du programme Python ci-contre. La fonction Julia possède le paramètre P qui correspond aux nombres de \(z_0\) que l’on veut tester et N, qui correspond au nombre de terme de la suite \((z_n)_{n\in \mathbf{N}}\) qu’on va calculer pour chaque valeur de \(z_0\).

On admet que, s’il existe un entier \(n_0\) tel que \(|z_n| > 2\), alors \((z_n)\) n’est pas bornée.

On ne va donc conserver que les \(z_0\) pour lesquels les \(N\) valeurs de \(z_n\) qu’on a calculé sont inférieures à 2.

1. random() renvoie un nombre aléatoire entre 0 et 1. Que renvoie random()*4 - 2 ?

2. Tester ce programme pour

   a. P = 1000 et N = 100

   b. P = 1000000 et N = 100

3. Modifier ce programme pour représenter les ensembles de Julia lorsque :

   a. \(c = 0,25\)

   b. \(c = -0,12 + 0,74i\)

Astuce

En Python, \(i\) s’écrit 1j.

(1j)**2 == -1

True

Fig. 2.1 L’ensemble de Julia pour \(c = -1\)

Fig. 2.2 L’ensemble de Julia pour \(c = \frac14\)

Fig. 2.3 L’ensemble de Julia pour \(c = -0,12 + 0,74i\)