1.2. Cours sur les nombres complexes

1.2.1. Définitions et premières propriétés

Definition 1.1

On définit l’ensemble \(\mathbf{C}\) des nombres complexes comme étant l’ensemble des nombres écrits sous la forme \(z = a +ib\), \(a \in \mathbf{R}\), \(b \in \mathbf{R}\).

Lorsque \(a \in \mathbf{R}\) et \(b \in \mathbf{R}\), on peut noter \((a, b) \in \mathbf{R}×\mathbf{R}\), ce qui s’abrège en \(\mathbf{R}^2\).

Definition 1.2

Pour un nombre \(z = a + ib\), on note \(\Re{z} = a\) sa partie réelle et \(\Im{z} = b\) sa partie imaginaire.

Proposition 1.1 (Règle de calcul)

Soient \(z = a + ib\) et \(z' = a' + ib'\) deux nombres complexes.

• \(z + z' = a + a' + i(b + b')\)

• \(z - z' = a - a' + i(b - b')\)

• \(z ⋅ z' = aa' - bb' + i(ab' + a'b)\)

Definition 1.3 (Conjugué)

Soit \(z = a + ib\in \mathbf{C}\) un nombre complexe. On appelle conjugué de \(z\) le nombre noté \(\overline{z} = a - ib\).

Note

On dispose donc désormais de la factorisation \(x^2 + y^2 = (x + iy)(x - iy)\).

Proposition 1.2

Soit \(z = x + i y\) un nombre complexe. \(z\overline{z} \in \mathbf{R}_+\) avec \(z\overline{z} = 0 \iff z = 0\).

Definition 1.4

Le nombre \(\sqrt{z\overline{z}}\) s’appelle le module du nombre complexe \(z\). Il est noté \(\|z\|\).