1.1. Les défis de la Renaissance#
1.1.1. Équations du second degré#
À partir des travaux des mathématiciens perses, on a pu obtenir des méthodes géométriques de résolution des équations algébriques du second degré. Ces méthodes fonctionnent pour certaines classes d’équations, et on peut se poser la question de quitter le champ de la géométrie pour passer à celui de l’algèbre.
Exercise 1.1
Illustrer graphiquement la résolution d’une équation du second degré, par exemple \(x^2 + 4x = 21\)
Exercise 1.2
Résoudre les équations suivantes :
\(x^2 - 3x + 2 = 0\)
\(x^2 + 6x - 12 = 0\)
\(x^2 + 4x = 25\)
Exercise 1.3
On considère l’équation \((E)\ ax^2 + bx + c = 0\).
Démontrer pourquoi la quantité \(\Delta = b^2 - 4ac\) discrimine le nombre de solutions de l’équation \((E)\).
Donner les solutions générales de \((E)\).
Exercise 1.4
On considère un polynôme du second degré sous la forme \(X^2 - SX + P\).
Donner une condition sur \(S\) et \(P\) pour que le polynôme possède deux racines réelles.
On note \(X_1\) et \(X_2\) les deux racines. Exprimer \(S\) et \(P\) en fonction de \(X_1\) et \(X_2\).
Trouver deux nombres dont la somme est 42 et le produit est 42.
1.1.2. Équation du troisième degré#
Exercise 1.5
Donner le développement de \((X - a)^3\).
Exercise 1.6
On considère le polynôme \(2 x^{3} - 11 x^{2} + 18 x - 9\) dont on cherche les racines, c’est à dire les solutions de l’équation \(2 x^{3} - 11 x^{2} + 18 x - 9= 0\).
Vérifier que 1 est une racine de ce polynôme.
Justifier que 1 est aussi une racine du polynôme \((x - 1)(ax^2 + bx + c)\)
En développant ce polynôme et en l’identifiant à \(2 x^{3} - 11 x^{2} + 18 x - 9\) donner la valeur de \(a\), \(b\) et \(c\).
Résoudre l’équation \(2 x^{2} - 9 x + 9 = 0\)
Donner l’ensemble des racines.
Que constate-t-on ?
Écrire le polynôme \(2 x^{3} - 11 x^{2} + 18 x - 9\) sous forme factorisée.
Exercise 1.7
On cherche une méthode générale pour factoriser les polynômes de degré 3.
On considère un polynôme de degré 3 qui s’écrit \(P = X^3 + bX^2 + cX + d\).
On pose \(X = Y - \frac{b}3\). Montrer qu’alors \(P = Y^3 + pY + q\).
Préciser les valeurs de \(p\) et \(q\).
Résoudre l’équation \(P = 0\) dans le cas où \(p = 0\). Préciser la condition alors sur \(b, c\) et \(d\).
Résoudre l’équation \(P = 0\) dans le cas où \(q = 0\) et \(p≠0\).
Résolution du cas général.
On va chercher les solutions sous la forme \(Y = u + v\).
Remplacer \(Y\) par \(u + v\) et développer.
On impose que \(uv = \frac{-p}{3}\). Justifier que c’est possible.
Réécrire l’équation précédente avec cette nouvelle condition.
Donner la condition qui lie \(q, u^3\) et \(v^3\).
Recherche des cubes
On cherche \(u^3\) et \(v^3\) connaissant leur somme et leur produit. Donner une méthode pour trouver \(u^3\) et \(v^3\).
Si \(x_1\) est une solution, alors
si \(u\) et \(v\) sont égaux \(x_1\) est une solution double et en déduire la dernière solution.
sinon déterminer \(x_1\) et \(x_2\).
Pour la résolution de l’équation du troisième degré, Cardan a démontrer qu’une des racines se calculait avec la formule
Exercise 1.8
Résoudre l’équation \(x^3 - 2x - 1 = 0\)
Résoudre l’équation \(x^3 - 3x + 2 = 0\)
Solution to Exercise 1.8
\(S = \{ 1, -\frac12 + \frac{\sqrt{5}}2, -\frac12 - \frac{\sqrt{5}}2\}\)
\(S = \{ -2, 1 \}\)
Cependant, la recherche de la solution certaine peut conduire à des écritures étranges. C’est la seule et unique fois où on utilisera \(\sqrt{-1}\).
Exercise 1.9
On considère l’équation \(x^3 - 15x -4 =0\)
Vérifier que 4 est une solution de l’équation.
Quel est le problème de la méthode ?
On va supposer que \(\sqrt{-121}\) est une écriture légitime. Donner la propriété utilisée pour écrire \(\sqrt{-121} = 11\sqrt{-1}\).
On va chercher un cube qui vaut \(2 ± 11 \sqrt{-1}\) sous la forme \(2 + a\sqrt{-1}\). Développer \((2 + a\sqrt{-1})^3\) en utilisant \(\sqrt{-1}×\sqrt{-1} = -1\). En identifiant avec \(2 + 11\sqrt{-1}\), déterminer \(a\).
Retrouver \(x = 4\) par le calcul.