Devoir à la maison : dérivation de la fonction exponentielle complexe

Avertissement

La qualité de la rédaction, la précision des réponses et la présentation compteront pour une part importante de la note finale.

Toute trace de recherche, même incomplète doit figurer.

Note

On admet qu’on peut définir des fonctions sur \(\mathbf{R}\) à images dans \(\mathbf{C}\). On admet également que de telles fonctions sont dérivables selon les règles de dérivation habituelles.

Le but de l’exercice est de démontrer que, pour tout \(\theta \in \mathbf{R}\), \(\exp(i\theta) = \cos \theta + i\sin \theta\).

Exercise 1

1. Rappeller les dérivées des fonctions

• \(\cos\)

• \(\sin\)

• \(t \mapsto t \exp(k t)\)

2. En appliquant la question précédente, montrer que les fonctions \(f \colon t \mapsto \exp (i t)\) et \(g \colon t \mapsto \cos(t) + i \sin(t)\) sont telles que pour tout \(t \in \mathbf{R},\ f'(t)\) s’exprime en fonction de \(f(t)\) et \(g'(t)\) s’exprime en fonction de \(g(t)\).

3. En déduire que \(f(t) = C*g(t)\), où \(C\) est une constante.

4. Calculer \(f(0)\) et \(g(0)\) et en déduire la valeur de la constante \(C\).

5. Conclure.