5.1. Représentation binaire des nombres des entiers positifs

5.1.1. Représentation d’un nombre

Un ordinateur ne manipule que des bits, c’est à dire des alternatives qu’on peut représenter sous la forme 0 ou 1. Un bit est la plus petite quantité d’information qui peut être transmise à un instant \(t\) donné.

Definition 5.1

Le regroupement de 8 bits s’appelle un octet.

Note

En base 10, tout nombre \(x\) peut s’écrire \(x = d_0 10^0 + d_1 10^1 + … + d_n 10^n\), avec \(d_0, … d_n\) des chiffres entre 0 et 9. En base \(b\), tout nombre \(x\) peut s’écrire \(x = c_0 b^0 + c_1 b^1 + … c_m b^m\), avec \(c_0, c_1, …, c_m\), \(m\) symboles correspondant à des nombres entre \(0\) et \(b-1\).

Tout nombre entier peut s’écrire en base 2, avec uniquement les symboles \(0\) et \(1\).

Note

un mot mémoire est l’unité de base manipulée par le microprocesseur.

Sur un ordinateur, la longueur des mots est conditionnée par la taille des «mots mémoires» :

• 8 bits : de 0 à 255

• 16 bits : de 0 à 65535

Exercise 5.1

Donner le plus grand entier représentable avec

1. 32 bits ;

2. 64 bits ;

3. 128 bits.

Solution to Exercise 5.1

2**32 - 1

2**64 - 1

5.1.2. Convention d’écriture en Python en base 2

La fonction bin() de Python permet de convertir un entier écrit en décimal en écriture binaire La fonction int(⋅,2) de Python permet de convertir un entier écrit en binaire en entier écrit en décimal.

int('0b11001010',2)

202

Proposition 5.1

Les nombres binaires s’écrivent avec 0 et 1, en préfixant par 0b. Il se lisent dans le sens des puissances décroissantes rangées de la gauche vers la droite.

Example 5.1

0b11001010
  |||||||+- 0×1
  ||||||+-- 1×2
  |||||+--- 0×4
  ||||+---- 1×8
  |||+----- 0×16
  ||+------ 0×32
  |+------- 1×64
  +-------- 1×128

Le nombre ainsi représenté est \(0×2^0 + 1×2^1 + 0×2^2 + 1×2^3 + 0×2^4 + 0×2^5 + 1×2^6 + 1×2^7 = 202\)

Dans la base 10, on dispose de 10 symboles différents, notés 0, 1, 2, …, 9, alors que dans la base 2, on dispose des 2 symboles distincts 0, 1. On peut généraliser à toute base entière \(b ≥ 2\), comportant \(b\) symboles distincts.